Προετοιμάστε το ψάρι: Αφαιρέστε τα λέπια και καθαρίστε το (αν δεν είναι ήδη καθαρισμένο), τρίψτε το με λίγο λεμόνι, ξεπλύντε καλά και στραγγίστε.

Φτιάξτε τη σούπα: Βάλτε το νερό, τις πατάτες, το καρότο, την ντομάτα, το κρεμμύδι, το μαϊντανό, τη δάφνη, το γαρύφαλο, το αλάτι και το πιπέρι σε μία μεγάλη κατσαρόλα. Σκεπάστε και φέρτε τη σε βρασμό. Μόλις αρχίσει να βράζει, χαμηλώστε τη θερμοκρασία και μαγειρέψτε για 15 λεπτά.

Προσθέστε το ψάρι και συνεχίστε το μαγείρεμα για άλλα 15-20 λεπτά μέχρι το ψάρι να μαγειρευτεί εντελώς. Με μία τρυπητή κουτάλα αφαιρέστε το ψάρι και όλα τα λαχανικά. Κρατήστε κατά μέρος 4-5 κομμάτια πατάτας, τα μισά καρότα, το μαιντανό, τη ντομάτα και το κρεμμύδι. Βάλτε τα υπόλοιπα σε μία πιατέλα μαζί με το ψάρι, σκεπάστε με αλουμινόχαρτο και φυλάξτε σε ζεστό φούρνο.

Πολτοποιήστε τα λαχανικά και προσθέστε το ρύζι: Περάστε τη σούπα από ένα σουρωτήρι για να πιάσει τυχόν κόκκαλα και άλλα κομμάτια. Αφαιρέστε τη δάφνη, τα γαρύφαλα, και τη φλούδα από τη ντομάτα. Προσθέστε τα λαχανικά που κρατήσατε κατά μέρος μέσα στη σούπα και πολτοποιήστε με ένα ραβδομπλέντερ (αν δεν έχετε ραβδομπλέντερ θα τα πολτοποιήσετε σε μίξερ ή κανονικό μπλέντερ μαζί με λίγο από το ζωμό). Αν τη θέλετε πιο πηχτή πολτοποιήστε 1-2 επιπλέον κομμάτια πατάτας. Προσθέστε το ρύζι και μαγειρέψτε για 20 λεπτά. Κλείστε το μάτι της κουζίνας.

Φτιάξτε το αυγολέμονο: Βάλτε το αυγό, το λεμόνι και το ελαιόλαδο σε ένα μεγάλο μπολ και χτυπήστε τα καλά να ομογενοποιηθούν. Προσθέστε σταδιακά και ανακατεύοντας συνεχώς 3 κούπες από την καυτή σούπα. Επιστρέψτε το μίγμα στην κατσαρόλα και ανακατέψτε καλά. Δοκιμάστε και προσθέστε επιπλέον αλάτι, λεμόνι ή πιπέρι.

Κάντε το λεμονόλαδο: Βάλτε σε ένα βαζάκι το λεμόνι και το λάδι και ανακινήστε καλά. Περιχύστε πάνω από το ψάρι και τις πατάτες και σερβίρετε δίπλα από τη σούπα. Καλή σας όρεξη!